Kombinatorika I.

Ebben a témakörben minden feladatnál 3 dolgot kell végiggondolni:

Számít-e az elemek sorrendje? Minden elemet fel kell használni? Lehet-e ismételni az elemeket?

Ha 1-től 5-ig összeszorozzuk az egész számokat, azt röviden így jelöljük: 5! . Tehát 5!= 1·2· 3· 4· 5=120

Elméleti összefoglaló

Számológép használata:  kiszámolása: 10 nCr 4 ( meg kell keresni az nCr billentyűt, gyakran a SHIFT / jellet kell hasznűlni.)

Az alábbi feladatok az egyszerű feladatok közé tartoznak.

1. feladat
   20 tanuló színházba megy. A tanulók színházjegyei egymás mellé szólnak. Hányféleképpen ülhetnek le a színházterem egyik sorába?

   Megoldás:
   Számít a sorrend , hiszen nem mindegy ki melyik székre ül és kinek ki a szomszédja. Mind a 20 tanulót le kell ültetni egy székre, azaz minden elemet fel kell használni. Minden elemet egyszer használunk fel , hiszen minden tanulót csak egy székre tudjuk leültetni, ezért ismétlés nem lehetséges.
   Az 1. helyre 20 tanuló közül választhatunk, a 2. helyre már csak 19 tanuló közül, a 3. helyre már csak 18 tanuló közül választhatunk és így tovább. A 20. helyre már csak 1 tanuló marad.

   Tehát a megoldás:

   	1. hely	2.hely	……….	19. hely	20. hely
   lehetőség	20 tanuló	19 tanuló	…………	2 tanuló	1 tanuló

   20·19· 18 ·….. ·2 ·1 = 20!

   Tehát „n” elem sorba rendezése: n! féleképpen történhet.

2. feladat
   Hányféleképpen ülhet le a 20 tanuló a színházi előadáson, ha Kati és Gerda egymás mellett szeretne ülni?

   Gerdát és Katit egy tanulónak tekintjük, mivel egymás mellett fognak ülni. Így 19 tanulót kell leültetni. Ez 19! féleképpen történhet. Kati és Gerda sorrendje 2! lehet.

   A megoldás: 19! · 2!

3. feladat
   A 20 tanuló színházi előadás után vacsorázni megy. Hányféleképpen ülhetnek le az étterem kör alakú asztala mellé?

   Megoldás:

   A kerek asztalnál nincs 1. hely és utolsó sem , az 1. példában, a sornál van első szék illetve utolsó szék is. A sorrendet a már leültetett tanulóhoz viszonyítva tudjuk meghatározni.

   Tehát (20-1)! = 19!

   Ha n elemet akarunk kör alakba sorba rendezni, azt (n-1)! féleképpen tehetjük meg.

4. feladat
   Hányféleképpen ülhet le a színházban egy sorban 7 barát, ha Laci, Józsi és Pista egymás mellett szeretnének ülni?

   Lacit, Józsit és Pistát tekintsük egy embernek. Így 5 embert kell leültetni a padra, ez 5! -féleképpen lehetséges. A 3 barát 3! féleképpen ülhet le egymás mellé.

   Így a megoldás: 5!·3!=720

5. feladat
   4 pár moziba megy. Hányféleképpen ülhetnek le egy sorba, ha mindenki a saját párja mellett szeretne ülni?
   A 4 pár sorrendje 4! lehet. Minden pár 2! féleképpen ülhet le (hiszen a párok tagjai helyet is cserélhetnek).
   Megoldás: 4!· (2!)⁴= 384
6. feladat
   8 házaspár foglal helyet egy padon.
   1. hányféleképpen ülhetnek le?

      Mivel semmilyen feltétel nincs, bármilyen sorrendbe leülhet a 16 fő. Megoldás: 16!

   2. Hányféleképpen ülhetnek le, ha a párok egymás mellett szeretnének ülni?

      Megoldás: Minden házaspárt 1 embernek tekintünk, így 8 embert kell leültetni: 8! féleképpen lehetséges. Minden házaspár sorrendje 2! lehet.

      Megoldás: 8!· (2!)⁸= 10321920

7. feladat
   A 0;1;2;3;4;5;6;7;8 számjegyek felhasználásával hány különböző 9 jegyű számot lehet előállítani, ha minden számjegyet csak egyszer használhatunk fel?

   Megoldás:

   	1.hely	2.hely	3.hely	4.hely	……..hely	9.hely
   lehetőség	Mivel 0-val nem kezdődhet szám, így csak 8 számjegy közül választhatunk	Az 1. helyre tett számot már nem válszthatunk, de a 0-t már igen, tehát 8 számjegy közül választhatunk	7 számjegy közül választhatunk	6 számjegy közül	…………..	1 számjegy maradt

   Tehát a megoldás: 8·8·7·6·5·4·3·2·1= 8·8!=322560

8. feladat
   A 0;1;2;3;4;5;6;7;8 számjegyek felhasználásával hány különböző 9 jegyű páratlan számot lehet előállítani, ha minden számjegyet csak egyszer használhatunk fel?

   Megoldás: Az utolsó helyre csak páratlan számjegy kerülhet: 1;3;5;7 –ez 4 számjegy. Az első helyre nem kerülhet az utolsó helyre kiválasztott szám és a 0, tehát 7 számjegy közül választhatunk. A 2. számjegy már lehet a 0, de az eddig kiválasztott 2 számjegy nem. Így a második helyre 7 számjegy közül választhatunk. A 3. helyre már csak 6 számjegy közül, a 4. helyre csak 5 és így tovább.
   A megoldás tehát: 7·7·6·5·4·3·2·1·4=141120

9. feladat
   A 0;1;2;3;4;5;6;7;8 számjegyek felhasználásával hány különböző 9 jegyű páros számot lehet előállítani, ha minden számjegyet csak egyszer használhatunk fel?

   Egy szám akkor páros, ha az utolsó számjegy páros. De nem mindegy, hogy az utolsó helyre a 0-t választjuk vagy egy 0-tól különböző páros számot. Hiszen ha a 0 az utolsó számjegy, akkor az első helyre már nem választható a 0, hiszen minden számjegy csak egyszer használható. Ha az utolsó helyre nem a 0-t választottam, akkor az első helynél figyelnem kell, hogy ne a 0-t válaszam. Ebben az esetben az utolsó helyre a 2;4;6;8 kerülhet – 4 féle számjegy. Így tehát kétféle megoldás van. A két különböző megoldást össze kell adni.
   Ha az utolsó helyre a 0-t választottam, akkor 8·7 ·6·5·4·3·2·1·1= 8!=40320 különböző számot tudunk előállítani.
   Ha az utolsó helyre nem a 0 került, akkor 7·7·6·5·4·3·2·1·4=141120 különböző számot tudunk előállítani.

   Megoldás: 40320 + 141120 =181440

10. feladat
    A 0;1;2;3;4;5;6;7;8 számjegyek felhasználásával hány különböző 3 jegyű számot lehet előállítani, ha minden számjegyet csak egyszer használhatunk fel?

    Megoldás:

    	1. számjegy	2. számjegy	3. számjegy
    lehetőség	0 kivételével minden számjegy választható: 8-féle	választható a 0 is, de az 1. helyre választott szám nem, tehát 8-féle	7-féle számjegy

    Tehát 8·8·7= 448 féle különböző számot lehet előállítani a fenti számjegyek segítségével.

11. feladat
    Hányféleképpen alakulhat egy futóversenyen a dobogós helyezések száma, ha 120 induló volt és nincs holtverseny?

    Megoldás: 120·119·118=1685040

12. feladat
    Egy 6 tagú társaság tagjai egymás után mennek be az étterembe. Hányféleképpen alakulhat a belépés sorrendje, ha István lép be másodiknak?

    Megoldás:

    	1. belépő	2. belépő	………	5. belépő	6. belépő
    lehetőség	5 ember közül bárki	István	………	2 ember közül bárki	1 ember

    Tehát a belépés sorrendje: 5·1·4·3·2·1= 120 féle lehet.

13. feladat
    5 fiú és 4 lány színházba megy. Hányféleképpen ülhetnek le, ha fiú –fiú mellett illetve lány-lány mellett nem ülhet.

    Megoldás:

    	1.hely	2.hely	3.hely	4.hely	………	8.hely	9.hely
    lehetőség	5 fiú	4 lány	4 fiú	3 lány	………	1 lány	1 fiú

    Tehát az összes lehetséges sorrend: 5·4·4·3·3·2·2·1·1= 5!·4!=2880

14. feladat
    A 5;6;7;8 számjegyek felhasználásával hány 4 jegyű számot lehet előállítani, ha a számjegyeket többször is felhasználhatjuk?

    	1.számjegy	2.számjegy	3.számjegy	4.számjegy
    lehetőség	minden számjegy választható: 4-féle	minden számjegy választható: 4-féle	minden számjegy választható: 4-féle	minden számjegy választható: 4-féle

    Tehát 4·4·4·4= 4⁴= 256 féle számot lehet előállítani.

15. feladat
    A 0;6;7;8 számjegyek felhasználásával hány 4 jegyű számot lehet előállítani, ha a számjegyeket többször is felhasználhatjuk?

    	1.számjegy	2.számjegy	3.számjegy	4.számjegy
    lehetőség	a 0 nem választható, így 3-féle lehet csak	minden számjegy választható: 4-féle	minden számjegy választható: 4-féle	minden számjegy választható: 4-féle

    Tehát 3·4·4·4=3· 4³= 192 féle számot lehet előállítani.

16. feladat
    A 0;6;7;8 számjegyek felhasználásával hány 4 jegyű páros számot lehet előállítani, ha a számjegyeket többször is felhasználhatjuk?

    	1.számjegy	2.számjegy	3.számjegy	4.számjegy
    lehetőség	a 0 nem választható, így 3-féle lehet csak	minden számjegy választható: 4-féle	minden számjegy választható: 4-féle	csak páros számjegy választható: 2-féle

    Tehát 3·4·4·2= 96 féle számot lehet előállítani.

17. feladat
    Hány rendszámtábla készíthető abban az országban, ahol a rendszám 4 betűből és 4 számból áll, a következő módon: ABCD-1234? (22 betű van az ABC-ben és 10 számjegy)

    	1.betű	2.betű	3.betű	4.betű	1.szám	2. szám	3.szám	4.szám
    lehetőség	22 betű	22 betű	22 betű	22 betű	10 szám	10 szám	10 szám	10 szám

    Tehát 22⁴∙10⁴= 2342560000 féle rendszámot lehet előállítani.

18. feladat
    18-féle különböző színű gyöngyből hány különböző nyakláncot lehet készíteni?

    Megoldás: 18!

19. feladat
    Hány különböző nyakláncot lehet készíteni 18 gyöngyből, ha 6 egyforma méretű piros, 7 egyforma méretű zöld és 5 egyforma méretű fekete színű gyöngy van?

    Megoldás:  = 14702688

20. feladat
    Hány különböző szó rakható ki a MATEMATIKA szó betűiből?

    Megoldás: :   = 151200
    Hiszen a MATEMATIKA szóban 10 betű van, s közülük 2 db M, 3 db A illetve 2 db T egyforma.

21. feladat
    Hányféleképpen lehet kitölteni a TOTO szelvényt? (Ha az első csapat nyer, akkor 1-es, ha a 2. csapat nyer akkor 2-es, ha döntetlen a mérkőzés, akkor x kerül a TOTO 1 sorába. 13+1 mérkőzés szerepel a TOTO szelvényen.)

    Megoldás: Mivel minden sorba 3 féle választ lehet adni és 14 sor van, ezért a

    	1. mérkőzés	2. mérkőzés	……….	14. mérkőzés
    mérkőzés kimenetele	3 féle lehet(1;2;x)	3- féle	………..	3-féle

    Tehát a megoldás: 3¹⁴ =4782969