Definíciók: an egy n tényezős szorzat, melynek minden tényezője a. a valós, n pozitív egész.
a,b valós, n,m pozitív egész szám!
Azonosságok:
- an∙am=an+m (azonos alapú hatványok szorzata az alap a kitevők összegére emelve)
- an:am=an-m n>m (azonos alapú hatványok hányadosa az alap a kitevők különbségére emelve)
- (an)m=an∙m (hatvány hatványa az alap a kitevők szorzatára emelve)
- an∙bn=(a∙b)n (azonos kitevőjű hatványok szorzata az alapok szorzata a kitevőre emelve)
- an:bn=(a:b)n (azonos kitevőjű hatványok hányadosa az alapok hányadosa a kitevőre emelve)
Kibővítjük a hatványfogalmat, vagyis bővítjük a kitevő értelmezési tartományát. Ezt a permanencia-elvvel összhangban tesszük, vagyis úgy, hogy a korábban fennálló azonosságok ne sérüljenek.
Definíció: a0=1, 0-nak nem értelmezzük a nulladik hatványát. Az azonosságok ezzel megmaradnak.
A második azonosságot bővítve: a0:am=a0-m. Ezzel a szemlélettel kiterjesztjük a negatív kitevőkre is a hatványfogalmat:
Definíció: a-n=1/an, ha n természetes szám.
A hatványfogalmat tovább bővítjük, a kitevőket értelmezve a racionális számok halmazán is. Racionális számok azok a számok, amelyek felírhatóak két egész szám hányadosaként.
Definíció: ap/q az a szám, amit ha a q-adik hatványon veszünk, ap-t kapjuk (elég p,q pozitív egészekre vizsgálni, lévén, hogy értjük a negatív kitevő fogalmát). Az egyértelműség végett szükséges, hogy p és q relatív prímek legyenek. Abban az esetben, ha q páros, az alap csak pozitív szám lehet. (A törtkitevő ekvivalens a gyökvonással, ld. később). Azonosságok is megmaradnak.
Mivel az irracionális számok tetszőlegesen közelíthetőek racionális számokkal, és az exponenciális függvények szigorúan monotonak, ezért az irracionális kitevőt is értelmezzük.
A hatványfogalom ismeretében minden valós számra értelmezzük a hatványfüggvényt:
f(x)=xn (n valós szám).
Képe leginkább a kitevő paritásától függ. A páros kitevőjű hatványfüggvények párosak, míg a páratlan kitevőjű függvények páratlanok.
Transzformálhatóak, összeadással (és kivonással) eltolhatjuk őket az x, illetve az y tengely mentén, szorzással (és osztással) pedig a két tengely mentén alkalmazhatunk merőleges affinitást.
Vélemény, hozzászólás?