Hatványozás

Definíciók: aⁿ egy n tényezős szorzat, melynek minden tényezője a. a valós, n pozitív egész.

a,b valós, n,m pozitív egész szám!

Azonosságok:

1. aⁿ∙a^m=a^n+m (azonos alapú hatványok szorzata az alap a kitevők összegére emelve)
2. aⁿ:a^m=a^n-m n>m (azonos alapú hatványok hányadosa az alap a kitevők különbségére emelve)
3. (aⁿ)^m=a^n∙m (hatvány hatványa az alap a kitevők szorzatára emelve)
4. aⁿ∙bⁿ=(a∙b)ⁿ (azonos kitevőjű hatványok szorzata az alapok szorzata a kitevőre emelve)
5. aⁿ:bⁿ=(a:b)ⁿ (azonos kitevőjű hatványok hányadosa az alapok hányadosa a kitevőre emelve)

Kibővítjük a hatványfogalmat, vagyis bővítjük a kitevő értelmezési tartományát. Ezt a permanencia-elvvel összhangban tesszük, vagyis úgy, hogy a korábban fennálló azonosságok ne sérüljenek.

Definíció: a⁰=1, 0-nak nem értelmezzük a nulladik hatványát. Az azonosságok ezzel megmaradnak.

A második azonosságot bővítve: a⁰:a^m=a^0-m. Ezzel a szemlélettel kiterjesztjük a negatív kitevőkre is a hatványfogalmat:

Definíció: a^-n=1/aⁿ, ha n természetes szám.

A hatványfogalmat tovább bővítjük, a kitevőket értelmezve a racionális számok halmazán is. Racionális számok azok a számok, amelyek felírhatóak két egész szám hányadosaként.

Definíció: a^p/q az a szám, amit ha a q-adik hatványon veszünk, a^p-t kapjuk (elég p,q pozitív egészekre vizsgálni, lévén, hogy értjük a negatív kitevő fogalmát). Az egyértelműség végett szükséges, hogy p és q relatív prímek legyenek. Abban az esetben, ha q páros, az alap csak pozitív szám lehet. (A törtkitevő ekvivalens a gyökvonással, ld. később). Azonosságok is megmaradnak.

Mivel az irracionális számok tetszőlegesen közelíthetőek racionális számokkal, és az exponenciális függvények szigorúan monotonak, ezért az irracionális kitevőt is értelmezzük.

A hatványfogalom ismeretében minden valós számra értelmezzük a hatványfüggvényt:

f(x)=xⁿ (n valós szám).

Képe leginkább a kitevő paritásától függ. A páros kitevőjű hatványfüggvények párosak, míg a páratlan kitevőjű függvények páratlanok.

Transzformálhatóak, összeadással (és kivonással) eltolhatjuk őket az x, illetve az y tengely mentén, szorzással (és osztással) pedig a két tengely mentén alkalmazhatunk merőleges affinitást.